미분 정의와 활용 분야 (미분을 "한번 한다" "두번 한다" 의미)

미분이란?

"미분은 한 점에서의 기울기"를 의미합니다.

수학적 표현으로 보면 아래 그림 1과 같습니다.

 

그림 1.

 

기울기라는 것은 원래 함수 위에 두 점이 있을 때 두 점을 잇는 직선 기울기입니다.

그런데 왜 미분에서는 한 점에서의 기울기라고 할까요?

 

정확히 얘기하면 미분도 두 점 사이 기울기입니다.

그런데 두 점 사이 거리가 너무 너무 가까울 때의 기울기여서 우리 눈에는 거의 한 점에서의 기울기로 보이는 겁니다.

 

그래서  미분의 정의도 두점 사이의 기울기에서 시작을 합니다.

그리고 결론적으로 거의 한점에서의 기울기가 됩니다.

 

그림 2.

그림 3.

그림 4.

그림 5.

그림 6.

그림 7.

그림 8.

그림 9.

그림 10.

그림 11.

그림 12.

그림 13.

그림 14.

 

그림 2 ~ 14까지는 미분에 대한 정의입니다.

 

미분 활용 분야

1. 물리학: 미분은 물리학에서 운동의 움직임, 속도, 가속도 등을 연구할 때 매우 중요한 역할을 합니다. 또한, 뉴턴의 운동 법칙에서도 미분이 사용됩니다.
2. 경제학: 경제학에서는 수요와 공급의 변화율, 이윤 최대화 등에 미분을 활용합니다. 예를 들어, 이윤을 최대화하는 최적생산량을 구하는 문제에서 미분을 사용합니다.
3. 공학: 공학에서는 미분을 사용하여 전기, 전자, 통신, 제어, 신호 등의 분야에서 문제를 해결합니다. 예를 들어, 전기회로에서 전류와 전압의 변화율을 구하는 문제에서 미분을 사용합니다.
4. 생물학: 생물학에서는 미분을 사용하여 유전자의 변화율, 생물체의 성장률, 화학반응 등을 연구합니다.
5. 컴퓨터 공학: 컴퓨터 공학에서는 미분을 사용하여 이미지 처리, 음성 인식, 자연어 처리 등의 분야에서 문제를 해결합니다. 예를 들어, 이미지 처리에서 경계 검출을 위해 미분을 사용합니다.
6. 금융학: 금융학에서는 주식 가격 변동성, 이자율 등의 변화율을 미분으로 분석합니다.

 

미분을 "한번 한다" "두번 한다" 의미는?

미분을 한 번 한다는 것은 함수를 미분하여 새로운 함수를 얻는 것을 말합니다. 함수의 미분이란 해당 함수의 기울기를 나타내는 것으로, 함수의 입력값이 변할 때 해당 함수의 출력값이 얼마나 변하는지를 나타내는 것입니다.

 

예를 들어, 함수 f(x) = x² 에 대해 x=2에서의 미분값을 구하면, f'(2) = 2x = 4가 됩니다. 이 값은 x가 2일 때 f(x)의 기울기를 나타내는 것입니다.

 

미분을 두 번 한다는 것은 함수를 두 번 미분하여 새로운 함수를 얻는 것을 말합니다. 즉, 원래 함수에서 미분한 함수를 다시 한번 미분하는 것입니다. 이 경우에는 해당 함수의 변화율이 어떻게 변하는지를 묘사하는 것입니다.

 

예를 들어, 함수 f(x) = x³ 에 대해 x=2에서의 미분값을 구하면, f'(2) = 3x² = 12가 됩니다. 이 값은 x가 2일 때 f(x)의 변화율을 나타내는 것입니다. 이제 이 함수를 다시 미분하면 f''(x) = 6x 가 됩니다. 이 값은 x가 어떤 값일 때 f(x)의 변화율이 어떻게 변하는지를 나타내는 것입니다.

 

미분을 한 번 한다와 두 번 한다는 개념은 함수의 변화율이나 변화율의 변화율을 나타내는 중요한 개념입니다. 이러한 개념은 수학적 모델링에서 뿐만 아니라 다양한 분야에서 활용됩니다.

 

미분 활용 분야 12가지 상세

1. 속도와 가속도: 자동차 주행의 핵심

자동차 주행은 우리 일상생활에서 빼놓을 수 없는 분야입니다. 미분과 적분은 이곳에서도 중요한 역할을 하고 있습니다. 우선 미분은 거리를 시간에 대해 미분하여 속도를, 속도를 시간에 대해 미분하여 가속도를 구할 수 있습니다. 반대로 적분을 사용하면 속도와 가속도를 통해 이동 거리를 구할 수 있습니다.

예를 들어, 자동차의 속도계는 미분을 사용하여 차량의 순간 속도를 계산합니다. 또한, 자동차의 크루즈 컨트롤 기능은 적절한 가속도를 유지하여 원하는 속도를 유지하도록 도와줍니다. 이처럼 자동차 주행에 미분과 적분의 개념이 활용되고 있습니다.

 

2. 댐 내 압력 계산: 저수지 수위와 가해지는 힘

댐을 생각해 봅시다. 뒤에 있는 저수지가 가득 차면 댐은 엄청난 힘을 견뎌냅니다. 적분을 사용하여 저수지가 가득 찼을 때 댐에 가해지는 힘을 계산하고 변화하는 수위가 그 힘에 어떤 영향을 미치는지 계산할 수 있습니다. 정수압은 적분의 많은 응용 분야 중 하나입니다.

예를 들어, 물의 압력은 깊이와 비례하여 증가하므로, 댐의 깊이에 따라 다른 압력이 발생합니다. 이러한 압력 분포를 분석하려면 적분을 사용하여 댐의 전체 면에 가해지는 압력을 계산해야 합니다. 이를 통해 댐의 안전성과 구조물이 견딜 수 있는 최대 압력을 평가할 수 있습니다. 이는 댐 설계 및 유지 보수에 매우 중요한 고려 사항입니다.

 

3. 천문학: 우주 비행 계획 및 궤도

천문학 분야에서도 미분과 적분은 매우 중요한 역할을 합니다. 우주 비행 엔지니어는 긴 임무를 계획할 때 미적분학을 자주 사용합니다. 로켓을 발사하기 위해 미적분학은 각 변수를 고려하여 태양과 달의 중력 영향 하에서 궤도 속도를 정확하게 계산할 수 있도록 합니다.

예를 들어, 우주 탐사 미션에서는 로켓의 궤도를 정확하게 계산해야 합니다. 이를 위해 로켓의 속도, 질량, 연료 소모량 등 다양한 변수를 고려하여 미분 방정식을 사용해야 합니다. 미분과 적분을 통해 계산된 궤도를 바탕으로, 로켓이 목표 지점에 정확하게 도달할 수 있도록 발사 각도와 시점을 결정하게 됩니다. 이러한 미분과 적분의 활용은 천문학에서 가장 중요한 사례 중 하나로 여겨집니다.

 

4. 사업: 손익 계산과 최적화

미분과 적분은 사업 분야에서도 활용됩니다. 데이터가 그래프 또는 Excel 시트와 같은 데이터 테이블에서 계산되는 경우, 미분을 활용해 손익을 계산하고 최적의 결정을 내릴 수 있습니다.

예를 들어, 기업은 광고 예산을 어떻게 배분하면 가장 효율적인 매출을 얻을 수 있는지를 분석해야 합니다. 이를 위해 각 광고 채널의 투자 대비 수익률을 계산하고, 미분을 사용해 최적의 예산 분배를 찾을 수 있습니다. 이렇게 미분과 적분은 사업 전략을 수립하고, 경쟁력 있는 시장에서 기업의 성장을 돕는 중요한 도구가 됩니다.

 

5. 경제학: 수요와 공급의 분석

경제학에서도 미분과 적분이 활용됩니다. 수요와 공급 곡선을 분석하여 시장의 균형 상태를 이해하는 데 미분과 적분이 사용됩니다. 미분을 통해 곡선의 기울기를 구하면, 상품의 가격 변화에 따른 수요와 공급의 변화를 알 수 있습니다.

예를 들어, 어떤 상품의 가격이 오르면 수요가 줄어들고 공급이 늘어납니다. 이를 통해 적정 가격을 찾아낼 수 있으며, 회사는 이를 토대로 가격 전략을 세우게 됩니다. 적절한 가격 설정은 소비자와 회사 모두에게 이익을 가져다주기 때문에, 경제학에서 미분과 적분은 매우 중요한 도구로 활용됩니다.

또한, 기업의 이익을 최대화하기 위해 생산량을 조절하는 문제에서도 미분과 적분이 사용됩니다. 이익을 최대화하기 위해서는 이익 함수를 최대로 하는 생산량을 찾아야 합니다. 이익 함수의 최댓값을 찾기 위해 미분을 사용하여 기울기가 0이 되는 지점을 구하고, 적분을 통해 누적 이익을 계산할 수 있습니다. 이렇게 미분과 적분을 활용하여 기업은 최적의 가격과 생산량 전략을 수립할 수 있습니다.

 

6. 수영장: 물의 양 계산

미분과 적분은 수영장에 필요한 물의 양을 계산하는 데에도 사용됩니다. 먼저 수영장의 모양과 크기를 분석하여, 채워야 할 물의 양을 결정해야 합니다. 수영장의 모양이 규칙적인 기하학적 형태가 아닌 경우에는, 적분을 활용해 물의 양을 계산할 수 있습니다.

예를 들어, 수영장 바닥이 서서히 경사진 형태로 되어 있다고 가정해 봅시다. 이 경우 수영장의 깊이가 일정하지 않기 때문에, 각 위치에서의 깊이를 고려하여 총 물의 양을 계산해야 합니다. 미분과 적분을 활용하면, 이러한 비규칙적인 형태의 수영장에서도 정확한 물의 양을 계산할 수 있습니다.

수영장의 물을 채우거나 비우는 과정에서도 미분과 적분이 유용합니다. 물을 공급하는 펌프의 속도와 시간에 따른 물의 양 변화를 적분을 통해 계산하면, 수영장에 필요한 물의 양과 채우는 데 걸리는 시간을 예측할 수 있습니다. 이를 바탕으로 수영장 관리에 필요한 시간과 비용을 효율적으로 계획할 수 있습니다.

 

7. 의학: 약물 투여량 최적화

의학 분야에서도 미분과 적분이 활용됩니다. 약물 투여량을 최적화하는 데에 중요한 역할을 하죠. 약물의 효과는 약물의 농도와 관련이 있습니다. 따라서 약물의 농도 변화를 파악하기 위해 미분과 적분을 사용합니다.

예를 들어, 환자에게 약물을 투여할 때, 약물의 농도가 너무 낮으면 효과가 없을 수 있고, 너무 높으면 부작용이 발생할 수 있습니다. 이를 해결하기 위해 약물 투여량을 적절히 조절해야 합니다. 미분과 적분을 통해 약물의 농도 변화를 계산하여, 최적의 투여량을 찾아낼 수 있습니다.

 

8. 건축: 디자인 계획 및 컴퓨터 모델링

미적분은 건축가가 그래프나 도면을 통해 디자인 계획을 표현하는 데 사용할 수 있습니다. 도면을 컴퓨터 소프트웨어에 적용하는 데 도움이 되도록 수학을 통해 표면을 설명할 수 있습니다. 이것은 다양한 미분 방정식을 통해 수행할 수 있습니다. 미적분학은 에펠탑의 설계와 건설에도 사용되었습니다.

예를 들어, 복잡한 곡면을 가진 건축물의 경우, 미분과 적분을 활용하여 표면의 모양을 정확하게 모델링하고 이해할 수 있습니다. 이를 통해 건축가는 디자인이 안전하고 실현 가능한지를 평가하고, 필요한 자재와 구조물을 정확하게 계산할 수 있습니다.

 

9. 신용카드: 최소 지불 금액 계산

신용카드 회사는 미분을 사용하여 최소 지불 금액을 계산합니다. 이 계산에는 몇 가지 변수가 있습니다. 만기일까지 납부해야 할 금액으로 계산됩니다. 금리도 고려해야 한다. 이러한 모든 변화하는 가치, 이자율 및 계정 잔액과 함께 계산은 고객에게 정확한 최소 잔액 및 지불 금액을 제공하기 위해 동시에 수행되어야 합니다.

예를 들어, 고객의 월별 지불 금액은 미분을 사용해 계산할 수 있습니다. 이는 대출 잔액, 이자율, 그리고 납입 기간 등의 변수를 고려하여 수행됩니다. 미분과 적분을 활용하면, 신용카드 회사는 고객에게 최적의 지불 계획을 제안하고, 금융 상품의 이자와 수익을 관리할 수 있습니다.

 

10. 공학: 구조물 설계와 에너지 효율

공학 분야에서도 미분과 적분은 매우 중요한 역할을 합니다. 구조물의 설계 및 에너지 효율을 최적화하는 데 사용됩니다. 예를 들어, 건물이나 다리와 같은 구조물의 안정성을 평가하거나 최적의 형태를 찾기 위해 미분과 적분을 사용합니다.

또한, 미분과 적분은 에너지 효율을 높이는 데도 중요한 역할을 합니다. 전기 회로의 전력 소비를 최소화하거나, 열전달을 분석하여 난방과 냉방 시스템의 효율을 높이는 데 미분과 적분이 사용됩니다.

 

11. 환경과학: 대기오염과 기후변화 분석

환경과학에서도 미분과 적분이 활용됩니다. 대기오염물질의 배출량과 확산, 기후변화의 원인과 결과를 분석하는 데 사용되죠. 대기 중 오염물질의 농도 변화를 측정하고, 오염 원인을 찾아내기 위해 미분과 적분을 사용합니다.

기후변화의 분석에서도 미분과 적분이 중요한 역할을 합니다. 기후변화의 원인과 결과를 이해하고 예측하기 위해 기후 모델을 사용하는데, 이러한 모델은 미분방정식을 통해 기상 현상을 수학적으로 표현합니다. 미분과 적분은 이러한 방정식을 풀어 기후 변화의 원인과 결과를 분석하는 데 필수적인 도구입니다.

예를 들어, 온실가스 배출량이 기후변화에 어떤 영향을 미치는지 분석하기 위해서는 대기 중 온실가스 농도의 변화를 파악해야 합니다. 이를 위해 미분과 적분을 사용하여 온실가스 배출량과 확산을 계산하고, 이를 바탕으로 기후 변화에 대한 예측을 수행할 수 있습니다.

12. 컴퓨터 그래픽스: 물체의 움직임과 모양

컴퓨터 그래픽스에서도 미분과 적분이 중요한 역할을 합니다. 3D 모델링, 애니메이션, 게임 개발 등 다양한 분야에서 물체의 움직임과 모양을 표현하기 위해 미분과 적분을 사용합니다.

예를 들어, 애니메이션에서 캐릭터의 움직임을 자연스럽게 표현하기 위해서는 물체의 속도와 가속도를 적절히 조절해야 합니다. 이를 위해 미분과 적분을 사용하여 움직임의 변화를 계산하고, 이를 바탕으로 캐릭터의 움직임을 조절할 수 있습니다.

또한, 3D 모델링에서는 물체의 표면을 부드럽게 만들기 위해 미분과 적분을 사용합니다. 물체의 표면 곡률을 계산하여, 부드러운 모양을 만들어낼 수 있습니다.

 

미분과 미분 방정식

미분은 함수의 변화율을 나타내는 도구이며, 미분 방정식은 함수의 변화율과 함수값 사이의 관계를 나타내는 방정식입니다. 즉, 미분 방정식은 함수의 동적인 변화를 모델링하는 도구로 활용됩니다.

 

미분 방정식은 일반적으로 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있습니다.

 

dy/dx = f(x)

 

여기서 y는 x에 대한 함수이며, f(x)는 x에 대한 함수입니다. 이 식은 y가 x에 대해 어떻게 변화하는지를 나타내는 미분 방정식입니다.

 

미분 방정식은 주어진 조건에 따라 특정한 해를 갖는데, 이를 찾기 위해서는 일반적으로 초기 조건이나 경계 조건을 활용합니다. 초기 조건은 미분 방정식이 성립하는 특정한 지점에서의 함수 값과 함수의 변화율을 나타내는 것이며, 경계 조건은 함수의 값이 주어진 두 지점에서 같은 값을 갖는 것을 나타냅니다.

 

미분 방정식은 물리학, 공학, 생물학, 경제학 등 다양한 분야에서 사용되며, 다양한 수치 해석 기법을 사용하여 근사적인 해를 구할 수 있습니다.

 

미분 방정식 역사

17세기 뉴턴(Newton)과 라이프니츠(Leibniz)는 물체의 위치나 물리량의 시간에 대한 변화나 위치에 대한 변화를 기술하기 위하여 순간변화율이라는 개념을 도입하였고, 이를 기반으로 여러 가지 운동 법칙과 질량 보존의 법칙, 에너지 보존의 법칙 등의 물리 법칙이 정립되었습니다. 그 이후 야코프 베르누이(Jacob Bernoulli), 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli), 달랑베르(d’Alembert), 오일러(Euler), 라그랑지(Langrange), 푸리에(Fourier) 등이 이들 물리 법칙들을 결합하여 물리적 현상을 기술하였다. 이는 미지의 함수와 그 도함수, 그리고 이 함수들에 관계된 여러 변수들에 대한 방정식으로서 '미분방정식'이라 정의합니다. 미분방정식은 자연현상을 과학적으로 표현하려는 도구로서 활용되어 왔으나, 현대에는 컴퓨터 그래픽, 기상 예측, 감염병 확산 예측 등에도 활발하게 응용되고 있습니다.

 

미분 방정식

그림 15.일반 방정식

그림 15 처럼 일반적인 방정식은 위와 같은 형태이며, 미지수 x에 들어갈 해를 구합니다.

 

그림 16. 미분 방정식

그림 16에서 미분 방정식은 y''은 y라는 함수를 두 번 미분했다는 것이고, y'은 한 번 미분했다는 뜻입니다.

 

언뜻 비슷해 보이지만 수식에 x 대신 y가 들어가 있고 미분을 뜻하는 프라임(') 표시가 있다. 일단 변수로 y가 들어간 것은 y가 '미지수'가 아니라 '미지함수'라는 의미다. 즉, 미지의 함수를 구하는 것이 미분방정식의 목적임을 알 수 있다.

 

미분방정식은 미적분 계산이 되는 함수를 변수로 간주하는 방정식 즉, 함수 그 자체를 미분하여 결과를 도출한다. 함수를 미분한다는 것은 물체의 가속도(그래프에서 기울기) 등과 같은 특정 지점에서의 물리량 변화를 확인할 수 있다는 뜻이므로, 미분방정식을 사용하면 자연 현상에 대한 분석과 예측에 매우 유용하다.

 

미분 방정식 종류

종류

• 상미분방정식 : 미분과 관련된 변수가 하나
• 편미분 방정식 : 미분과 관련된 변수가 두 개 이상
• 확률 미분방정식 : 확률적 현상을 기술
• 연립 미분방정식 : 생물학적 현상을 기술

 

대표 미분 방정식

• 파동방정식 : 현악기에서 현의 떨림을 표현하기 위하여 만들어졌으며 음향학, 전자기학, 유체역학 등에서 나타나는 음파와 전자기파, 수면파 등을 기술할 수 있습니다.
• 나비에(Navier)-스토크스(Stokes) 방정식 : 우리가 흔히 보는 물, 공기와 같은 유체의 흐름을 나타낼 수 있는 방정식입니다.
• 맥스웰(Maxwell) 방정식 : 전자기학에는 전기와 자기를 함께 기술하는 4개의 방정식이 있는데 이를 통틀어서 맥스웰 방정식이라고 부릅니다.
• 슈뢰딩거(Schrödinger) 방정식 : 원자 내에서 움직이는 전자의 운동을 기술하는 파동 방정식으로, 전자의 운동이 어떤 에너지를 갖고 있는지 나타냅니다.